Universidad de Costa Rica
Escuela de Ciencias de la
Computación e Informática
Profesor Adolfo Di Mare
CI-1404
II Semestre 1997
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CI-1404 Matemática Discreta I

Examen Final [solución]

     Duración: dos horas.  Lea bien el examen antes  de hacerlo.   El examen
es a libro abierto. Resuelva todos los problemas.


1) [25 pts] Una relación es Anti-Transitiva si cada vez que se da que

      (a R b) y (b R c) ==> no se da (a R c)

1.a) [10 pts] Escriba los pares ordenados de una relación sobre U que sea no 
     vacía y anti-transitiva. Use el siguiente conjunto universal:
         U = {a, b, c, d, e}

1.b) [5 pts] Dibuje el diagrama de R.

1.c) [10 pts] Muestre o refute el siguiente teorema:
     Si es es Irreflexiva y Anti-simétrica, entonces R es Anti-transitiva.


2) [25 pts] La función característica f (x) del conjunto A se define así:
                                       A
           / 1 si       x ∈ A
   f (x) = |
    A      \ 0 si  NOT (x ∈ A)

2.a) [10 pts] Muestre que f   (x) = f (x) * f (x)
                           A∪B       A       B

2.b) [10 pts] Muestre que f   (x) = f (x) + f (x) - f   (x)
                           A∩B       A       B       A∪B

2.c) [5 pts] Calcule  f   (x)   donde A θ B = (A ∩ B) - (A ∪ B)
                       AθB


3) [25 pts] Muestre que las siguientes proposiciones son tautologías.

3.a) [6 pts] Use álgebra booleana: (~q ^ (p-->q)) --> ~p
3.b) [6 pts] Use tablas de verdad: (~q ^ (p-->q)) --> ~p

3.c) [6 pts] Use álgebra booleana: ((p-->q) ^ (q-->r)) --> (p-->r)
3.d) [7 pts] Use tablas de verdad: ((p-->q) ^ (q-->r)) --> (p-->r)


4) [25 pts] Las ranas Qualu de Gyumdal tienen una extraña cualidad,  pues se 
reproducen semanalmente, con la particularidad de que cada  nueva semana  se 
duplica la cantidad de ranas de la semana anterior, pero siempre se muere la 
mitad de las ranas de la semana tras-anterior. Si al principio hay 20 ranas, 
encuentre una fórmula para calcular la población total de ranas.

Soluciones

[mailto:] Adolfo Di Mare <adolfo@di-mare.com>.
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