Universidad de Costa Rica
Escuela de Ciencias de la
Computación e Informática
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CI-1404 Matemática Discreta I
Duración: dos horas. Lea bien el examen antes de hacerlo. El examen
es a libro abierto. Resuelva todos los problemas.
1) [25 pts] Una relación es Anti-Transitiva si cada vez que se da que
(a R b) y (b R c) ==> no se da (a R c)
1.a) [10 pts] Escriba los pares ordenados de una relación sobre U que sea no
vacía y anti-transitiva. Use el siguiente conjunto universal:
U = {a, b, c, d, e}
1.b) [5 pts] Dibuje el diagrama de R.
1.c) [10 pts] Muestre o refute el siguiente teorema:
Si es es Irreflexiva y Anti-simétrica, entonces R es Anti-transitiva.
2) [25 pts] La función característica f (x) del conjunto A se define así:
A
/ 1 si x ∈ A
f (x) = |
A \ 0 si NOT (x ∈ A)
2.a) [10 pts] Muestre que f (x) = f (x) * f (x)
A∪B A B
2.b) [10 pts] Muestre que f (x) = f (x) + f (x) - f (x)
A∩B A B A∪B
2.c) [5 pts] Calcule f (x) donde A θ B = (A ∩ B) - (A ∪ B)
AθB
3) [25 pts] Muestre que las siguientes proposiciones son tautologías.
3.a) [6 pts] Use álgebra booleana: (~q ^ (p-->q)) --> ~p
3.b) [6 pts] Use tablas de verdad: (~q ^ (p-->q)) --> ~p
3.c) [6 pts] Use álgebra booleana: ((p-->q) ^ (q-->r)) --> (p-->r)
3.d) [7 pts] Use tablas de verdad: ((p-->q) ^ (q-->r)) --> (p-->r)
4) [25 pts] Las ranas Qualu de Gyumdal tienen una extraña cualidad, pues se
reproducen semanalmente, con la particularidad de que cada nueva semana se
duplica la cantidad de ranas de la semana anterior, pero siempre se muere la
mitad de las ranas de la semana tras-anterior. Si al principio hay 20 ranas,
encuentre una fórmula para calcular la población total de ranas.
Soluciones
Adolfo Di Mare <adolfo@di-mare.com>.
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