Examen #1 [solución]

     Duración: dos horas.  Lea bien el examen antes de hacerlo.  El examen es a
libro abierto. Resuelva cuatro problemas.

1) [25 pts] Considere el conjunto NxN de pares ordenados de números enteros 
positivos, en los que se define la relación R con la siguiente regla:

     (i,j) R (k,l) <==> i*l < j*k

1.a) Exprese usando lógica de predicados el conjunto R.
1.b) Muestre que R es un ordenamiento estricto.
1.c) Muestre o refute que R es un ordenamiento total estricto.



2) [25 pts] Resuelva la siguiente ecuación usando aritmética modular.

     12x + 6 = 30 MOD 36

2.a) Explique qué significa resolver la ecuación, y defina qué respuesta 
     debe usted obtener.
2.b) Calcule la solución de la ecuación. (Sugerencia: use la definición de 
     MOD).



3) [25 pts] Considere la operación sobre conjuntos θ definida como sigue:

     P θ Q = (P ∩ Q) - (P ∪ Q)

3.a) Pruebe o refute la siguiente igualdad:
     (P θ Q) ∩ (Q θ P) = (P θ Q)
3.b) Demuestre usando el Principio de Igualdad de Conjuntos que:
     P θ (P ∪ Q) = P - Q



4) [25 pts] Demuestre el siguiente argumento utilizando notación lógica. 
Especifique las proposiciones, las hipótesis, la conclusión y cada uno de 
los pasos de la demostración.

    "Si Gamo no vive en Cuba, entonces no habla español. Gamo no maneja 
     un Hiundai. Si Gamo vive en Cuba entonces maneja bicleta. Gamo 
     habla español o maneja un Hiundai. Por lo tanto, Gamo maneja 
     bicicleta.



5) [25 pts] Diga si P ==> Q, Q ==> P, P <==> Q o si no hay relación alguna entre las siguientes proposiciones:

5.a) P = (s -> (p ^ ªr)) ^ ((p -> (r v q)) ^ s)    Q = p v r
5.b) P =  p -> (q -> r)    Q = (p -> q) -> r
5.c) Haga la tablas de verdad para la última pareja de proposiciones 
     simbólicas. ¨Qué relación existe con su resultado anterior?




6) [25 pts] Haga la Tabla de Verdad para las siguientes proposiciones 
simbólicas.

6.a)  p ^ (q v r)
6.b) (p ^ q) v r)
6.c) Diga que relación hay entre las proposicones anteriores.
6.d) ¨Puede usar álgebra booleana para demostrar su conjetura del punto 
     anterior? Si es posible hacer, entonces hágalo. Si no, muestre lo 
     contrario.



7) [25 pts] Una relación es Anti-Transitiva si cada vez que se da que

      a R b y b R c ==> no se da a R c

7.a) Escriba los pares ordenados de una relación sobre U = {a, b, c, d, e} 
     que sea no vacía y anti-transitiva.
7.b) Dibuje el diagrama de R.
7.c) Muestre o refute el siguiente teorema:
     Si es es Irreflexiva y Anti-simétrica, entonces R es Anti-transitiva.

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Adolfo Di Mare <adolfo@di-mare.com>.
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